Kombinasi Linier

Sebuah vektor x dikatakan kombinasi linier dari vektor-vektor u1, u2,…, un jika vektor tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk :

                     x = k1u1+ k2u2 +… + knun

dimana k1, k2,…,kn adalah skalar

 

Contoh :

Misalkan, u = [2,-1,3]T, v = [1,2,-2]T, apakah x = [8,1,5]T kombinasi linier dari u dan v.

Jawab :

Perhatikan kombinasi linier x = k1u+k2v

       [8,1,5]T = k1[2,-1,3]T + k2[1,2,-2] T

Dari kesamaan vektor diperoleh

2k1 + k2 = 8

-k1 + 2k2 = 1

3k1 – 2k2 = 5

 

Kebebasan Linier

Andaikan S = {u1, u2,…,un} adalah himpunan vektor, S dikatakan bebas linier bilamana kombinasi linier :

                k1u1 + k2u2 + … + knun = 0

penyelesaiannya adalah trivial yakni k1 = 0, k2 = 0,…, kn = 0. Jika ada penyelesaian lain (non trivial), maka S dikatakan tak bebas linier. 

Contoh :

Himpunan vektor, S = {u1,u2,u3}, u1=[2,-1,3]T, u2=[1,2,-6]T, u3=[10,5,-15]T adalah vektor tak bebas linier, karena 3u1 + 4u2 = u3 

Contoh :

Himpunan vektor, S = {u1,u2,u3}, dimana u1=[1,-1,2]T, u2=[-2,3,1]T, u3=[2,1,3]T adalah vektor bebas linier, k1u1 + k2u2 + k3u3 = 0, ekuivalen,

k1 – 2k2 + 2k3 = 0

–k1 + 3k2 + k3 = 0

2k1 + k2 + 3k3 = 0